“Kulağa doğru gelen nedenlerle, doğru nedenleri karıştırmayın.”  ANON

Derslerimin birinde geometrinin temel kavramlarından olan üçgeni, özelde de üçgende kenarortayı işliyordum. Teorem ispat örnek şeklinde giden dersin bir anında öğrencimin “Hocam bunların doğru olduğu ne malum?” sorusu üzerine biraz şaşırdım. Matematikte ispat edilmiş bir şey yanlış olabilir miydi? Çünkü ispatı verilen bir teoremden bahsediyorduk. Öğrencimin başka bir şeyi merak ettiği belliydi.

Soruya farklı bir açıdan yaklaşıp Aristo’nun çok bilindik iki görüşünden bahsettim.

• Cisimler ağırlıklarıyla doğru orantılı bir ivmeyle yere düşerler.
• Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir.

Sonra bunların yanlış olduklarını ve doğruların şunlar olduğunu söyledim.

• Bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşerler. (Galileo’nun Aristo’yu yıkan görüşü)
• Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal hareketini ilelebet sürdürür. (Isaac Newton)

Bunları duyduklarında biraz duraklayanlar oldu. Devamında kendi çapında deneyler yapanlar bile vardı. Bir kalemle silgiyi eline alıp aynı anda yere bırakanlar, ona itiraz edenler vs. (O kadar doğal ki kuşkulanmaları, duraksamaları. Çünkü bu fikirler hemen hemen 1800 yıl etkisini sürdürdü. ) Ders mükemmel bir hal almıştı fakat sürem azdı ve bu konuşmayı sonuca bağlamalıydım. Dersi, hemen hemen aşağıda yazmış olduğum şeyleri söyleyerek bitirdim.

Karl Popper’ın “Bilim, çürütülebilir olan şeydir.” sözü bilimin en isabetli ve etkin tanımı olarak kabul edilir. Bundan anlamamız gerekense şudur: Fizikte veya diğer pozitif bilimlerde deney ve gözlem önemli bir yer tutar. Ve şu an elde edilen bulgular aksi bir gözlem veya deney sonucuyla karşılaşmadığı müddetçe geçerli olacaktır. Güzel bir tabirle var olanların var olmaya devam etmesi aksi yönde yapılabilecek bir  gözlem veya deneyin insafına kalmıştır. Halbuki 2000 yıl önce Öklid’in asal sayıların sonsuzluğuyla alakalı yaptığı ispat, Pisagorcuların karesi 2 olan bir rasyonel sayının olamayacağına dair yaptığı ispat, bugün de geçerliğini korumaktadır ve bundan sonra da koruyacaktır. Bunun sebebi de matematiğin diğer bilimlerden yöntemsel farkı olan aksiyomatik sistem içinde tümdengelimci yaklaşıma sahip olmasıdır.

Aşağıda Öklid’in asal sayıların sonsuzluğuna dair elementlerde geçtiği şekliyle yaptığı ispatı mevcuttur. İspatı okuduğunuzda Öklid özelinde o dönemin matematikçilerinde geometrik bakış açısının ne kadar baskın olduğunu göreceksiniz.

Bir kaç örnek vermek gerekirse; 4 bizim için ilk başta bir sayıyken onlar için uzunluk demekti. 3² sinden biz 9 anlarken onlar bir kenarı 3 birim olan kareyi akıllarına getiriyordu ya da 5×4 den biz 20 anlarken onlar bir kenarı 5 diğer kenarı 4 birim olan dikdörtgeni anlıyorlardı. Yani matematik onlar için geometri demekti. Ve şu an akıllarında Platon neden akademisine “Geometri bilmeyen giremez” yazdı da matematik yazmadı düşüncesi olanlar için de bu söylediklerim cevap olmuştur kanısındayım.

&

Şimdi ispata bakalım:

A, B ve C asal sayılarımız olsun. Diyorum ki A, B ve C den daha fazla asal sayı vardır.

A,B ve C nin en küçük katı olan ED sayısını alalım ve ona 1 birimlik DF yi ekleyelim. Şu an EF’nin asal olup olmadığını bilmiyoruz. İlk olarak asal kabul edelim. Bu durumda A, B ve C den daha fazla asal sayı bulmuş olduk. Şimdi de diyelim ki EF asal sayı olmasın. O zaman EF bir G asal sayısının katı olmalıdır.

Diyorum ki G A, B ve C den farklı bir asal sayıdır. Eğer olabilirse G A, B ve C den birine eşit olsun. Bu durumda ED A,B ve C’nin katıydı, G bunlardan birine eşit olduğuna göre ED, G’nin de katı olmalı, EF de G’nin katıydı,o halde DF de G nin katı olmalı ki bu da mümkün değil. Bu durumda  G, A, B ve C den farklı bir asal sayıdır.

İşte bu yüzden de A, B ve C den daha fazla asal sayı vardır.            Q.E.D.

Şimdi de bu ispatın günümüz versiyonuna bakalım:

Asallardan oluşan bir sonlu {p₁,…p_r} kümesi için, n= p₁ p₂…p_r+1 sayısına bakalım. Bu n sayısının bir p asal böleni vardır. Bu p asalı p_i ‘lerden biri değildir, aksi halde p hem n’yi hem de p₁ p₂…p_r çarpımını bölerdi, dolayısıyla bu iki sayının farkı olan n-p₁ p₂…p_r =1 sayısını da bölerdi ki bu imkansızdır. Yani sonlu bir {p₁,…p_r} kümesi tüm asalların kümesi olamaz.

Öklid’in elementlerinde asalların sonsuzluğuyla alakalı ispatın geçtiği kısım

Kaynak:Buradan ulaşabilirsiniz.